勅使河原の予想＜証明編その２＞

夜中、ふとトイレにいきたくなって目が覚めた瞬間、大切なことを思いついた。昨日の「勅使河原の予想＜証明編＞」では、ひとつ漏れがあったのである。あぁ、まぁ大したことではないのだが、トイレに行きながら考えてみた。

勅使河原の予想

「全ての 3以上の自然数は、重ならない 1 と素数の和である」

勅使河原の予想＜証明編＞

「1から n までの区間の全ての自然数 n1 について勅使河原の予想 T<n1> が成立すれば、1から2n までの区間の全ての自然数 n2 について、勅使河原の予想 T<n2> が成立する」

証明編では n と 2n の間に存在する素数 p（チェビシェフの定理）を用いて、2n - p を q とした時、q < n より T<n2> = p + T<q> として証明した。

ところが、（トイレで）良く考えてたみたところ、この証明には重大な漏れがあった。それは、n から 2n までの区間で最初に現れる素数 p1 と、n から p1 までの区間の全ての自然数に関する証明である。n から 2n の区間にある任意の素数 p を使って証明を行ったため、p1 それ自体を扱えなかったのである。

そこで、「勅使河原の予想＜証明編＞」に、次の証明を加えて「勅使河原の予想＜証明編その２＞」としたい。尚、「勅使河原の予想＜完全編＞」とか「勅使河原の予想＜最終編＞」でない理由については、フランスが第五共和制と呼ばれる所以と同じである。

token-t.hatenablog.com

1 から n までの区間の全ての自然数 n1 について T<n1> が成立すると仮定する
n から 2n までの区間について、n の次に現れる素数を p1 とする
1 から n までの区間について、n より小さく且つ最も大きい素数を p0 とする
r = p1 - p 0 となる自然数 r を想定する
チェビシェフの定理に従うと r < p0 である（p1 < 2 * p0 より）
さて、p0 は 1 から n までの区間にあり、r < p0 であるため T<r> は仮定により証明済である
p1 = p0 + r であるから、T<p1> = p0 + T<r> となる
p0 > r のため T<r> には p0 は含まれず「重ならない素数」を満たす
同様に n から p1 までの区間の任意の自然数 n2 について、r1 = n2 - p0 となる自然数 r1 を想定すれば、T<n2> = P0 + T<r1> となる
（QED）

という辺りでどうであろうか。とりあえず、＜証明編その２＞で＜証明編＞の不備は補完できたと思う。

折角ここまで書いたので、筆者の特殊スキル「読んでいる文章を茅野さんの声に脳内変換」を発動して「勅使河原の予想」を癒しボイスで再生してみようと試みたのだが．．．無論変換はできているのだが、妙なノイズが混じっているようである。きっと昨夜みた「スライム倒して300年」（先週放送回の録画）の影響であろう。なにしろ昨夜からずっと頭の中が「ぐだふわエブリデー」なのである。そう、茅野さんは最高に素敵だけれど、悠木さんもいいよね。